Teorema Euclidean

Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0
Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

Misalkan a dan b bilangan bulat, a
¹ 0.

a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

Notasi: a | b jika ba = c, c
Î Z dan a
¹ 0.
Contoh 1: 4 | 12 karena 124 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 ´ 3. Tetapi 4 | 13 karena 134 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

Teorema Euclidean

Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga

m = nq + r (1)

dengan 0 £
r < n.

Contoh 2.

(i) 1987/97 = 20, sisa 47:

1987 = 97 × 20 + 47

(ii) –22/3 = –8, sisa 2:

–22 = 3(–8) + 2

tetapi –22 = 3(–7) – 1 salah

karena r = –1 (syarat 0 £
r < n)

Pembagi Bersama Terbesar (PBB)

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.

Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b.