KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN DATA (TI-17A, TI-17B, SI-18A, MI-18A)

Kemiringan Distribusi Data

Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data.

Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

  • Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung, median, dan modus berhimpit (berkisar di satu titik)
  • Miring ke kanan : mempunyai nilai modus palingkecil dan rata-rata hitung paling besar
  • Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling besar

            dan rata-rata hitung paling kecil











Untuk lebih jelasnya silahkan download file berikut ini:


Berikut file tambahan materinya:

Terimakasih atas perhatiannya.

UKURAN VARIANSI DAN SIMPANGAN BAKU (TI-17A, TI-17B, SI-18A, MI-18A)

Ukuran Variasi atau Dispersi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Mengapa mempelajari dispersi?

mengetahui informasi tentang sebaran nila pada data- untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai.

Ukuran Variasi

Ukuran pemusatan (mean, median, modus) yang telah kita pelajari hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi mengenai sebaran nilai pada data tersebut, apakah nilai-nilai data bervariasi ataukah tidak. Terdapat 3 kondisi variasi data, yaitu data yang homogen (tidak bervariasi), data heterogen (sangat bervariasi), dan data yang relatif homogen (tidak begitu bervariasi). Ilustrasinya sebagai berikut:

Data homogen: 50 50 50  50  50 -> rata-rata hitung=50

Data relatif homogen: 50 40 30 60 70 -> rata-rata hitung=50

Data heterogen: 100 40 80  20  10 -> rata-rata hitung=50

Bila kita perhatikan, ketiga kondisi di atas memberikan nilai rata-rata hitung yang sama, yaitu sebesar 50. Namun, kenyataannya rata-rata hitung pada data yang homogen dapat dengan baik mewakili himpunan data keseluruhan. Rata-rata hitung pada data yang relatif homogen cukup baik mewakili himpunan datanya. Sedangkan, rata-rata hitung pada data yang heterogen tidak dapat mewakili dengan baik himpunan data secara keseluruhan.


Terdapat beberapa macam ukuran variasi atau dispersi, misalnya nilai jarak (range), rata-rata simpangan (mean deviation), varians, simpangan baku (standard deviation)dan koefisien variasi (coefficient of variation).

A. Pengukuran Dispersi Data Tidak Dikelompokkan

Nilai Jarak (Range)
Diantara ukuran variasi yang paling sederhana dan paling mudah dihitung adalah nilai jarak (range). Jika suatu himpunan data sudah disusun menurut urutan yang terkecil (Xmin) sampai dengan yang terbesar (Xmax), maka untuk menghitung range digunakan rumus berikut:

Range = Xmax – Xmin

Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat pada sekelompok data. Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak.


Contoh :

Data nilai UAS Statistika

Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

Langkah-langkah menjawab :

Urutkan dahulu kemudian dihitung berapa rentangannya.

Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35

Contoh:

berikut ini adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah Range dari data tersebut.

Kelas

Harga saham

Frekuensi

1

160 – 303

2

2

304 – 447

5

3

448 – 591

9

4

592 – 735

3

5

736 – 878

1

Penyelesaian:

Range = batas atas kelas tertinggi – batas bawah kelas terendah

= 878 – 160

= 718

Rata-rata Simpangan (Mean Deviation)

Rata-rata simpangan (RS) adalah rata-rata hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan:


Varians
Varians merupakan rata-rata hitung dari kuadrat simpangan setiap pengamatan terhadap rata-rata hitungnya. Varians terbagi dua berdasarkan data yang digunakan, apakah data populasi ataukah data sampel.


Simpangan Baku (Standard Deviation)


Simpangan baku merupakan akar kuadrat positif dari varians. Diantara ukuran dispersi atau variasi, simpangan baku adalah yang paling banyak digunakan sebab memiliki sifat-sifat matematis yang sangat penting dan berguna sekali untuk pembahasan teori dan analisis. Simpangan baku digunakan untuk mengukur penyimpangan atau deviasi masing-masing nilai individu dari suatu himpunan data terhadap rata-rata hitungnya. Satuan simpangan baku mengikuti data aslinya. Seperti pada varians, simpangan baku juga dibagi menjadi simpangan baku populasi dan simpangan baku sampel.


B. Pengukuran Dispersi Data Berkelompok

Nilai Jarak (Range)

Untuk data berkelompok, range dapat dihitung dengan dua cara yaitu:

Range = Nilai Tengah Kelas Akhir – Nilai Tengah Kelas Pertama

Atau

Range = Tepi Atas Kelas Akhir – Tepi Bawah Kelas Pertama

Atau

Range = Batas Atas Kelas Akhir – Bawas Atas Kelas Pertama

Atau

Range = Batas Bawah Kelas Akhir – Batas Bawah Kelas Pertama

Kedua cara tersebut akan memberikan hasil yang berbeda. Cara pertama cenderung menghilangkan kasus-kasus ekstrim.

Varians

Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus varians adalah:



Simpangan Baku (Standard Deviation)

Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus simpangan baku adalah:


Koefisien Variasi (Coefficient of Variation)

Simpangan baku yang baru saja kita bahas mempunyai satuan yang sama dengan satuan data aslinya. Hal ini merupakan suatu kelemahan jika kita ingin membandingkan tingkat homogenitas dua kelompok data yang berbeda satuannya. Misal Kelommpok pertama adalah data pengeliaran per bulan, sedangkan kelompok kedua adalah data jumlah anggota rumah tangga. Data pengeluaran diukur dalam ratusan ribu bahkan jutaan, sehingga simpangan bakunya juga berkisar ratusan ribu. Sedangkan, jumlah anggota rumah tangga berkisar dalam satuan atau paling banyak puuhan, sehingga simpangan bakunya juga berkisar seperti itu. Artinya simpangan baku data pengeluarann lebih besar daripada simpangan baku data jumlag anggota rumah tangga. Namun, hal ini belum tentu menunjukkan bahwa data pengeluaran lebih bervariasi (heterogen) daripada data jumlah anggota rumah tangga karena perbedaan tersebut semata-mata dipengaruhi oleh perbedaan satuan data. Untuk keperluan perbandingan dua kelompok nilai yang berbeda satuan, digunakan ukuran Koefisien Variasi (KV), yang bebas dari satuan data asli. Rumusnya adalah:


Suatu kelompok data dikatakan lebih homogen daripada kelompok data lainnya apabila nilai koefisien variasinya lebih kecil. Sebaliknya, suatu kelompok data dikatakan lebih bervariasi (heterogen) daripada kelompok data lainnya apabila nilai koefisien variasinya lebih besar.

Untuk lebih jelasnya silahkan download materi berikut ini:


Silahkan download file materi tambahan latihan soal berikut ini:

 

UKURAN GEJALA PUSAT DATA DIKELOMPOKKAN (TI-17A, TI-17B, SI-18A, MI-18A)

  1. Rata-Rata Hitung (Mean)

    Rata-rata Hitung adalah nilai yang mewakili sekelompok data.

    Rata-rata hitung dapat kita sebut juga dengan mean yaitu jumlah nilai suatu data dibagi dengan banyaknya data akan menghasilkan rata-rata nilai suatu data tersebut. Rata-rata hitung dinyatakan dengan notasi X untuk sampel.

    Ada beberapa rumus untuk menghitung rata-rata hitung dengan data berkelompok, yaitu:

     


  1. Median


Untuk lebih jelasnnya silahkan download materi berikut ini:

 


Silahkan download file materi tambahan latihan soal berikut ini:


 

 

UKURAN GEJALA PUSAT DATA BELUM DIKELOMPOKKAN (TI-17A, TI-17B, SI-18A, MI-18A)

  1. Rata-Rata Hitung (Mean)

    Rata-rata Hitung adalah nilai yang mewakili sekelompok data.

    Rata-rata hitung dapat kita sebut juga dengan mean yaitu jumlah nilai suatu data dibagi dengan banyaknya data akan menghasilkan rata-rata nilai suatu data tersebut. Rata-rata hitung dinyatakan dengan notasi X untuk sampel.

    Ada beberapa rumus untuk menghitung rata-rata hitung, yaitu:

     


Contoh soal:

Diketahui data:


Maka rata-rata hitungnya adalah …

Penyelesaian:


  1. Rata-rata Ukur/Geometri

    Rata-rata Ukur/Geometri dari sejumlah N nilai data adalah akar pangkat N dari hasil kali masing-masing nilai dari kelompok tersebut.


Atau

Untuk lebih jelasnya silahkan download materi berikut ini:

 

Silahkan download file Lembar Kerja Mahasiswa (LKM) berikut ini:


 

Silahkan download file materi tambahan latihan soal berikut ini:

 


 

 

JENIS-JENIS DISTRIBUSI FREKUENSI (Relatif, Kumulatif Kurang dari, Kumulatif Lebih Dari)

  1. Distribusi Frekuensi Kumulatif

    Adalah suatu daftar yang memuat frekuensi-frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya observasi yang ada di atas atau di bawah suatu nilai tertentu.

  1. Distribusi Frekuensi Relatif

    Adalah perbandingan daripada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen.

  • Distribusi Frekuensi kumulatif kurang dari (dari atas)
    Adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
  • Distribusi Frekuensi kumulatif lebih dari (dari bawah)
    Adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
  • Distribusi Frekuensi kumulatif relatif Adalah suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi.

Berikut contoh-contohnya:

Frekuensi relatif kelas ke-1 diperoleh 4 persen dari 2/50 x 100%.

Frekuensi relatif kelas ke-5 diperoleh 18 persen dari 9/50 x 100%.

Frekuensi relatif kelas ke-6 diperoleh 38 persen dari 19/50 x 100%.

Bisa dijelaskan dari tabel tersebut yang nilainya 20 – 31 terdapat 2 mahasiswa atau 4%. Yang nilainya 44 – 55 terdapat 6 mahasiswa atau 12%, dan seterusnya hingga yang nilainya 80 – 91 terdapat 19 mahasiswa atau 38%.


Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari dihitung mulai DARI ATAS yaitu 2 dipindahkan ke kolom Frekuensi Kumulatif <, kemudian 2 ditambah dengan nilai 2 di kelas ke-2 hasilnya 4, kemudian 4 ditambahkan dengan nilai 6 dari kolom ke-3 hasilnya 10, dan seterusnya 10 + 9 = 19, 19 + 9 = 28, 28 + 19 = 47, 47 + 3 = 50. Terakhir di kelas ke-7 harus sama dengan jumlah totalnya yaitu 50.

Bisa dijelaskan dari tabel tersebut yang nilainya dibawah 32 yaitu 4 mahasiswa (2 + 2), yang nilainya dibawah 56 yaitu 19 mahasiswa (2 + 2 + 6 + 9), yang nilainya dibawah 92 yaitu 47 mahasiswa ( 2 + 2 + 6 + 9 + 9 +19).


Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari dihitung mulai DARI BAWAH yaitu 3 dipindahkan ke kolom Frekuensi Kumulatif >, kemudian 3 ditambah dengan nilai 19 di kelas ke-6 hasilnya 22, kemudian 22 ditambahkan dengan nilai 9 dari kolom ke-5 hasilnya 31, dan seterusnya 31 + 9 = 40, 40 + 6 = 46, 46 + 2 = 48, 48 + 2 = 50. Terakhir di kelas ke-1 harus sama dengan jumlah totalnya yaitu 50.

Bisa dijelaskan dari tabel tersebut yang nilainya di atas 80 yaitu 22 mahasiswa (3 + 19), yang nilainya di atas 56 yaitu 40 mahasiswa (9 + 9 + 19 + 3), dan seterusnya.

CONTOH KASUS PEMBUATAN TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

Diketahui data mentah (belum dikelompokkan) nilai ujian statistik 50 mahasiswa sebagai berikut :

Ditanyakan : Buatlah distribusi frekuensi untuk data tersebut!


Tahap-tahap penyusunan distribusi frekuensi :

  1. Membuat array data atau data terurut (bila diperlukan)
  2. Menentukan range (jangkauan): selisih antara nilai yang terbesar dengan nilai yang terkecil.

    

  1. Menentukan banyaknya kelas dengan mempergunakan rumus Sturges. K = 1 + 3,3 log N dimana K = banyaknya kelas dan N = jumlah data yang diobservasi.


  2. Menentukan interval kelas : I = R/K


    Wajib dilakukan pembulatan ke atas walau bilangannya bulat, dikarenakan jika tidak dilakukan pembulatan ke atas maka panjang interbal kelas tidak memenuhi untuk semua data yang ada. Jadi ada beberapa data yang tidak dapat masuk ke dalam tabel distribusi frekuensi yang kita buat.

  3. Menentukan batas-batas kelas:

    Tbk = bbk – 0,5(skala terkecil)

    Tak = bak + 0,5(skala terkecil)

    Panjang interval kelas = Tak – tbk

    Keterangan:

    Tbk = tepi bawah kelas

    bbk = batas bawah kelas

    Tak = tepi atas kelas

    bak = batas atas kelas

  1. Menentukan titik tengahnya =

         ½ ( Batas atas kelas + batas bawah kelas)

  1. Memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem Tally atau Turus.
  2. Menyajikan distribusi frekuensi: isi kolom frekuensi sesuai dengan kolom Tally / Turus.
  3. Tabel Distribusi Frekuensi siap dibuat sehingga hasilnya seperti berikut ini:


Catatan:

Pada kelas ke-1 saya memulai dengan nilai 20, karena nilai terkecil data saya 23, jadi nilai batas bawah kelas ke-1 tidak boleh lebih dari 23. Jika mau mulai dari 23, boleh juga, jika mau mulai dari 15 juga boleh karena nilai data terkecil masih bisa masuk di kelas tersebut, sedangkan jika dipilih nilai 25 TIDAK BOLEH, karena nanti nilai 23 tidak akan masuk di kelas ke-1 tersebut.

Menghitung panjang interval kelas ada 2 cara yaitu:

Langkah berikutnya membuat Histogram jika diperlukan:

Klik Data, Pilih menu Data Analysis


Maka muncul menu data analysis, pilih histogram, klik OK.

Muncul menu berikut ini: langkah berikutnya isikan di menu input range (semua data yang ada), Bin Range (Batas Atas Kelas), Output Range (untuk lokasi tempat hasil outputnya), dan klik ceklist perintah yang diperlukan. Kemudian Klik OK.


Diperoleh output seperti ini:


Dan histogramnya.


LANGKAH-LANGKAH MEMUNCULKAN MENU DATA ANALYSIS DI EXCEL

Untuk melakukan pengolahan data dengan bantuan MS Excel kita memerlukan menu Data Analysis.

Berikut Langkah-langkah memunculkan menu Data Analysis dalam Excel:

  1. Untuk Microsoft Office 2010 ke atas, klik File sedangkan untuk jika versi tahun sebelumnya klik Logo Windows.

  2. Klik Options, jika office yang lain klik Excel Options.

  3. Klik Add-Ins, pilih Analysis ToolPak, Klik Go.

  4. Biasanya MS Office di bawah Tahun 2010 akan muncul minta install klik yess saja, dan tunggu prosesnya. Jika menggunakan MS Office Tahun 2010 ke atas akan muncul menu seperti ini:

    Silahkan ceklist semuanya dilanjutkan klik OK.

  5. Langkah terakhir kita cek apakah menu Data Analysis sudah muncul di MS excel kita, Klik Data, maka akan muncul menu Data Analysis dan Solver di sebelah kanan.

  6. Klik Menu Data Analysis, maka akan muncul menu-menu yang akan membantu kita dalam mengolah data statistik, sesuai kebutuhan kita.