STMIK Nusa Mandiri

Kode Huffman

Posted on

Definisi Pohon

  • Pohon didefinisikan sebagai suatu graf tak berarah terhubungkan (connected undirected graph) yang tidak mengandung sirkuit
  • Dua sifat penting yang dapat digunakan untuk menentukan suatu pohon yaitu terhubung dan tidak mengandung sirkuit

Pohon dan Bukan Pohon

Terminologi dalam Pohon

  • Simpul E, F, dan G disebut anak (child) dari simpul D
  • Simpul D disebut orang tua (parent)
  • B dan C disebut sibling atau saudara kandung
  • Daun adalah simpul paling ujung dalam sebuah pohon. Simpul B, E, F, dan G adalah daun.
  • Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pada pohon disamping aras mak = 3

Pohon Biner

  • Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya Mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary.
  • Jika n sama dengan 2 pohon tersebut disebut pohon biner (binary tree).
  • Untuk membuat pohon biner, terdapat aturan dalam penempatan simpulnya.
  • Berikut ini merupakan algoritma penempatan sebuah simpul dalam pohon biner : “Simpul yang berisi informasi yang nilainya lebih besar dari simpul diatasnya akan ditempatkan sebagai cabang kanan dan jika lebih kecil akan ditempatkan di cabang kiri.

 

Kode Huffman

  • Salah satu algoritma yang biasa digunakan dalam kompresi data adalah algoritma pengkodean Huffman
  • Pada Algoritma pengkodean Huffman simbol yang mempunyai probabilitas paling besar diberi kode paling pendek (jumlah bit kode sedikit) dan simbol dengan probabilitas paling kecil akan memperoleh kode paling panjang (jumlah bit kode banyak).
  • Kode tersebut diperoleh dengan cara memyusun sebuah pohon Huffman untuk masing-masing simbol berdasarkan nilai probabilitasnya

Algoritma Pohon Huffman

  • Berdasarkan daftar simbol dan probabilitas, buatlah dua buah node dengan frekuensi paling kecil.
  • Buatlah node parent dari node tersebut dengan bobot parent merupakan jumlah dari probabilitas kedua node anak tersebut.
  • Masukkan node parent tersebut beserta bobotnya ke dalam daftar, dan kemudian kedua node anak beserta probabilitasnya dihapus dari daftar.
  • Salah satu node anak dijadikan jalur (dilihat dari node parent) untuk pengkodean 0 sedangkan lainnya digunakan untuk jalur pengkodean 1.

Contoh

  • Buatlah kode Huffman untuk “SCIENCE”

Solusi

  • Buatllah daftar frekuensi kemunculan simbol-simbol dalam data tersebut.
  • Urutkan berdsarkan frekuensi dari terkecil ke terbesar, jika ada yang frekuensinya sama maka urutan berdasarkan urutan huruf pada kata yang dimaksud

  • Berdasarkan daftar frekuensi tersebut, kita buat daun-daun yang mewakili setiap simbol serta mengasosiasikan daun tersebut dengan frekuensi kemunculan simbol.

  • Dari daun S dan I kita buat simpul baru SI yang akan menjadi orangtua dari sImpul S dan I dan menyisipkannya ke dalam daftar sesuai dengan urutan frekuensinya.

  • Selanjutnya, kita lakukan hal yang sama secara berulang-ulang sehingga terbentuk satu pohon biner Huffman.
  • Dengan menelusuri pohon biner Huffman yang telah dibuat, kita dapat membuat tabel kode Huffman sebagai berikut:

  • Sehingga kode Huffman untuk string “SCIENCE” adalah 1100111110000110. ‘
  • Dengan menggunakan kode ASCII memori yang dipakai adalah sebesar 56 bit diperoleh dari 1 huruf kode ACSII terdiri dari 8 bit dan jumlah huruf SCIENCE terdiri dari 7 bit maka jika pakai kode ACSII sebesar 8 x 7 = 56 bit, sedangkan dengan menggunakan kode Huffman memori yang dipakai adalah sebesar 16 bit.

Latihan Soal:

Buatlah kode Huffman untuk “TELKOMSEL”

 

Untuk lebih jelasnya silahkan download link berikut ini:

 

 


 

Terimakasih atas perhatiannya.

 

Untuk materi sebelumnya tentang Short Path, silahkan Klik Disini.

Untuk materi selanjutnya tentang Soal Formatif UAS, silahkan Klik Disini.

 

 

Short Path

Posted on

Graf Berbobot

  • Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot
  • Contoh:

Aplikasi Graf

Lintasan Terpendek (Shortest Path)

  • Graf berbobot (weighted graph)
  • Lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot minimum.

Contoh aplikasi:

  • Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah antara dua buah kota
  • Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

Lintasan Terpendek

  • Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain:
    • Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.
    • Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.
    • Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.
    • Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.
  • Di dalam kuliah ini kita memilih jenis persoalan 3
  • Diberikan graf berbobot G = (V, E) dan sebuah simpul a.
  • Tentukan lintasan terpendek dari a ke setiap simpul lainnya di G.
  • Asumsi yang kita buat adalah bahwa semua sisi berbobot positif.
  • Untuk menentukan lintasan terpendek dari suatu graf berbobot dapat digunakan
    • Algoritma Djikstra
    • Algoritma Hapus

Algoritma Djikstra

  • Algoritma Djikstra adalah sebuah prosedur iteratif yang mencari lintasan terpendek antara a dan z dalam graf dengan pembobot.
  • Prosesnya dengan cara mencari panjang lintasan terpendek dari sebuah simpul pendahulu dan menambahkan simpul-simpul tersebut ke set simpul S.
  • Algoritma berhenti setelah mencapai simpul z.

Contoh Algoritma Djikstra

  • Tentukan lintasan terpendek dari a ke z

Solusi

  • Mulai dari simpul A (lingkari) sebagai simpul awal
  • Tentukan jalur dengan bobot terpendek yang menghubungkan A dengan simpul yang lain.
  • Jika jalurnya lebih dari satu, pilih jalur dengan bobot terendah

  • Lingkari Simpul C
  • Tentukan jalur dengan bobot terpendek yang menghubungkan C dengan simpul yang lain.
  • Jika jalurnya lebih dari satu, pilih jalur dengan bobot terendah

  • Lingkari Simpul B
  • Tentukan jalur dengan bobot terpendek yang menghubungkan B dengan simpul yang lain.
  • Jika jalurnya lebih dari satu, pilih jalur dengan bobot terendah

  • Lingkari Simpul D
  • Tentukan jalur dengan bobot terpendek yang menghubungkan D dengan simpul yang lain.
  • Jika jalurnya lebih dari satu, pilih jalur dengan bobot terendah

  • Lingkari Simpul E
  • Tentukan jalur dengan bobot terpendek yang menghubungkan E dengan simpul yang lain.
  • Jika jalurnya lebih dari satu, pilih jalur dengan bobot terendah

     

  • Jadi Lintasan terpendek dari A ke Z adalah

  • ACBDEZ
  • Dengan Bobot = 2 + 1 + 5 + 2 + 3 = 13

Algoritma TKD (Hapus)

  • Algoritma hapus merupakan salah satu algoritma atau cara untuk memperoleh jalur terpendek dari sebuah graf berbobot. Langkah-langkah yang dilakukan untuk menggunakan algoritma hapus adalah sebagai berikut.
    • Tentukan simpul awal
    • Hapus, sisi-sisi dengan bobot paling tinggi dengan syarat jika sisi-sisi ini dihapus graf awal tidak terbagi menjadi dua bagian atau lebih (graf tidak terpisah).
    • Proses penghapusan sisi selesai setelah tidak ada lagi sisi yang dapat di hapus
  • Tentukan Lintasan Terpendek dari A ke F dengan Algoritma “Hapus”

  • Jadi Lintasan terpendek dari A ke Z adalah

  • ACBDEZ
  • Dengan Bobot = 2 + 1 + 5 + 2 + 3 = 13

Soal Latihan

  • Tentukan panjang jalur terpendek dari A ke F dengan menggunakan Algoritma Djikstra dan “Hapus”

Untuk lebih jelasnya silahkan download link berikut ini:

 


 

 

Terimakasih atas perhatiannya.

 

Untuk materi sebelumnya tentang Pewarnaan Graf, silahkan Klik Disini.

Untuk materi selanjutnya tentang Kode Huffman, silahkan Klik Disini.

 

 

Pewarnaan Graf

Posted on

Sejarah Graf

  • Masalah jembatan Konigsberg (tahun 1736)
  • Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

  • Graf yang merepresentasikan jembatan Konigsberg:
  • Simpul (vertex) à menyatakan daratan
  • Busur (edge)    à menyatakan jembatan

 

  • Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula.
  • Hal ini disebabkan pada graf model jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat genap

Definisi Graf

  • Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini:
  • V = himpunan simpul-simpul (vertices)

= { v1 , v2 , … , vn }

  • E = himpunan busur/sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul

= {e1 , e2 , … , en }

Contoh


G1 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }    

E = { (1, 2), (1, 3), (2,3), (2, 4), (3, 4) }

G2 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4),

(3, 4), (3, 4) }


= { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

Pada G2, sisi e3 = (1, 3) dan sisi e4 = (1, 3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.

Jenis-Jenis Graf

  1. Graf sederhana (simple graph)

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda

  1. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph)

  1. Graf tak-berarah (undirected graph)

    Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

  2. Graf berarah (directed graph atau digraph)

    Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah dan tidak memiliki sisi ganda.

 

Untuk lebih jelasnya silahkan download link berikut ini:

 


 

Terimakasih atas perhatiannya.

 

Untuk materi sebelumnya tentang Kriptografi, silahkan Klik Disini.

Untuk materi selanjutnya tentang Short Path, silahkan Klik Disini.

 

 

 

 

 

Kriptografi

Posted on Updated on

Sejarah Kriptografi

Kripto dengan Scytale

  • Kriptografi: ilmu atau seni untuk menjaga kerahasiaan pesan dengan cara menyamarkannya menjadi bentuk yang tidak dapat dimengerti.
  • Beberapa contoh dalam kehidupan yang menggunakan kriptografi
    • ATM
    • Email
    • dll
  • Kriptografi berasal dari bahasa Yunani kriptos (“hidden”) dan logos (“written”), adalah ilmu yang mempelajari bagaimana “menyembunyikan” pesan
  • Kriptografi digunakan oleh Sparta untuk keperluan militer
  • Sparta menggunakan alat yang disebut Scytale untuk menyembunyikan pesan

  • Melilitkan pita pesan itu pada silinder sehingga menutupi permukaan silinder dan tidak saling tindih
  • Misalnya pesan “KILL KING TOMORROW MIDNIGHT”
  • Tulis huruf per huruf ke pita itu setelah dililitkan ke silinder
  • Melilitkan pita pesan itu pada silinder sehingga menutupi permukaan silinder dan tidak saling tindih
  • Misalnya pesan “KILL KING TOMORROW MIDNIGHT”
  • Tulis huruf per huruf ke pita itu setelah dililitkan ke silinder

Kripto dengan Scytale

  • Jika pita pesan dibentangkan akan terbaca sebagai berikut
  • “KTMIOILMDLONKRIIRGGWT “

Kripto dengan Scytale

  • Melilitkan pita pesan itu pada silinder sehingga menutupi permukaan silinder dan tidak saling tindih
  • Misalnya pesan “KILL KING TOMORROW MIDNIGHT”
  • Tulis huruf per huruf ke pita itu setelah dililitkan ke silinder

Terminologi Dasar Kriptografi

  • Plainteks : pesan yang dirahasiakan.
  • Chiperteks : pesan hasil penyandian.
  • Enkripsi : proses penyandian dari plainteks ke chiperteks.
  • Dekripsi : proses pembalikan dari chiperteks ke plainteks
  • Algoritma kriptografi : fungsi matematika yang digunakan untuk enkripsi dan dekripsi.

Algoritma Kriptografi Klasik

  • Algoritma kriptografi klasik berbasis karakter
  • Menggunakan pena dan kertas saja, belum ada komputer
  • Termasuk ke dalam kriptografi kunci-simetri
  • Tiga alasan mempelajari algoritma klasik:
    • Memahami konsep dasar kriptografi.
    • Dasar algoritma kriptografi modern.
    • Memahami kelemahan sistem cipher

Cipher Substitusi (Substitution Ciphers)

a. Caesar Cipher

  • Tiap huruf alfabet digeser 3 huruf ke kanan
  • pi
    : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  • ci : D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
  • Contoh:
  • Plainteks:     AWASI ASTERIX DAN TEMANNYA OBELIX
  • Cipherteks: DZDVL DVWHULA GDQ WHPDQQBA REHOLA

. Vigènere Cipher

  • Termasuk ke dalam cipher abjad-majemuk (polyalpabetic substitution cipher ).
  • Vigènere Cipher menggunakan Bujursangkar Vigènere untuk melakukan enkripsi.
  • Setiap baris di dalam bujursangkar menyatakan huruf-huruf cipherteks yang diperoleh dengan Caesar Cipher (A = 0, B = 1, C = 2, …., Z = 25)

Algoritma Kriptografi Klasik

Contoh:

  • Buatlah sandi (enkripsi) dari kata POLTEK dengan Kunci HRO menggunakan Vigènere Cipher!

Solusi:

  • Proses berikutnya, kita ubah kunci nya jadi index hurufnya, yang nantinya akan kita tambahkan ke index plaintextnya (A=0, Z=25)

  • Jadi, kata “enkripsi” dari POLTEK dengan kunci HRO adalah WFZAVY

Hasilnya seperti ini:

  • Untuk mengecek bawa hasil enkripsinya adalah benar maka lakukan proses Deskripsinya, yaitu

Berikut jawabannya:

Latihan Soal:

  1. Buatlah sandi (enkripsi) dengan dari kata berikut dengan sandi yang telah di tentukan dengan menggunakan Vigènere Cipher!
  • MATEMATIKA dengan Kunci DISKRIT
  • GREEN CAMPUS denga Kunci POLTEK
  • POLITEKNIK TELKOM dengan Kunci AKU                                                                    Pecahkanlah kata sandi berikut ini dengan menggunakan kunci POLTEK:
  • ECWMIUISWDSW
  • VWGBRQPBOVEBXBR
  • HOMTVNJZFWSXV
  • IVPPSBAR
  • ECWMIUISWDSWVWGBRQPBOVEBXBRHOMTVNJZFWSXV

Untuk lebih jelasnya silahkan download link berikut ini:

Terimakasih atas perhatiannya.

Untuk materi sebelumnya tentang Algoritma Euclidean, silahkan Klik Disini.

Untuk materi selanjutnya tentang pewarnaan Graf, silahkan Klik Disini.

 

Algoritma Eucledian

Posted on Updated on

  • Tujuan: algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat.
  • Penemu: Euclides, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam buku, Element.

Kombinasi Lanjar

  • PBB(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi lanjar (linear combination) a dan b dengan koefisien-koefisennya.
  • Contoh 6: PBB(80, 12) = 4 ,

4 = (-1) × 80 + 7 × 12.

Teorema 3. Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBB(a, b) = ma + nb.

Contoh 7: Nyatakan PBB(45, 21) sebagai kombinasi lanjar dari 45 dan 21.

Solusi:

        45 = 2 (21) + 3

        21 = 7 (3) + 0

    Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 3, maka PBB(45, 21) = 3

    Substitusi dengan persamaan–persamaan di atas menghasilkan:

        3 = 45 – 2 (21)

    yang merupakan kombinasi lanjar dari 45 dan 21

Contoh 8: Nyatakan PBB (312, 70) sebagai kombinasi lanjar 312 dan 70.

Solusi: Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh PBB(312, 70):

312 = 4 × 70 + 32        (i)

70 = 2 × 32 + 6        (ii)

32 = 5 × 6 + 2        (iii)

6 = 3 × 2 + 0        (iv)

Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 2, maka PBB(312, 70) = 2

Susun pembagian nomor (iii) dan (ii) masing-masing menjadi

(iii) 32 = 5.6 + 2

2 = 32 – 5 × 6    (v)

(ii) 70 = 2 . 32 + 6

6 = 70 – 2 × 32 (vi)

Sulihkan (vi) ke dalam (v) menjadi

2 = 32 – 5×(70 – 2×32)

2 = 1×32 – 5×70 + 10×32

2 = 11 × 32 – 5 × 70     (vii)

Susun pembagian nomor (i) menjadi

(i) 312 = 4 × 70 + 32

32 = 312 – 4 × 70    (viii)

Sulihkan (viii) ke dalam (vii) menjadi

2 = 11 × 32 – 5 × 70

2 = 11 × (312 – 4 × 70) – 5 × 70

2 = 11 . 312 – 49 × 70

Jadi, PBB(312, 70) = 2 = 11 × 312 – 49 × 70

Sehingga diperoleh P(a,b) = ma + n b

dimana m = 11, n = – 49 à Kombinasi Lanjar

PBB(312, 70) = 11 × 312 – 49 × 70

Contoh 9: Nyatakan PBB (128, 13) sebagai kombinasi lanjar 128 dan 13.

Solusi: Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh PBB (128, 13):

128 = 9 . 13 + 11 (i)

13 = 1 . 11 + 2 (ii)

11 = 5 . 2 + 1      (iii)

2 = 2 . 1 + 0 (iv)

PBB(128, 13) = 1

Susun pembagian nomor (iii) dan (ii) masing-masing menjadi

(iii) 11 = 5 . 2 + 1

1 = 11 – 5 . 2    (v)

(ii) 13 = 1 . 11 + 2

2 = 13 – 1 . 11 (vi)

Sulihkan (vi) ke dalam (v) menjadi

1 = 11 – 5 . 2

1 = 11 – 5 (13 – 1 . 11)

1 = 1 . 11 – 5 . 13 + 5 . 11

1 = 6 . 11 – 5 . 13 (vii)

Susun pembagian nomor (i) menjadi

(i) 128 = 9 . 13 + 11

11 = 128 – 9 . 13     (viii)

Sulihkan (viii) ke dalam (vii) menjadi

(vii) 1 = 6 . 11 – 5 . 13

1 = 6 . (128 – 9 .13) – 5 . 13

1 = 6 . 128 – 54 . 13 – 5 . 13

1 = 6 . 128 – 59 . 13

Jadi, PBB (128, 13) = 1 = 6 . 128 – 59 . 13

Sehingga diperoleh P(a,b) = ma + n b

dimana m = 6, n = – 59 à Kombinasi Lanjar

PBB (128, 13) = 6 . 128 – 59 . 13

TUGAS:

Nyatakan PBB (80, 12) sebagai kombinasi lanjar 80 dan 12.

Solusi: Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh PBB(80, 12):

Untuk lebih jelasnya silahkan download link berikut ini:

Terimakasih atas perhatiannya.

 

Untuk materi sebelumnya tentang Kombinatorial, silahkan Klik Disini.

Untuk materi selanjutnya tentang Kriptografi, silahkan Klik Disini.

 

 

Teorema Euclidean

Posted on Updated on

Bilangan Bulat

  • Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0
  • Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

  • Misalkan a dan b bilangan bulat, a
    ¹ 0.

    a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

  • Notasi: a | b jika ba = c, c
    Î Z dan a
    ¹ 0.
  • Contoh 1: 4 | 12 karena 124 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 ´ 3. Tetapi 4 | 13 karena 134 = 3.25 (bukan bilangan bulat).

Teorema Euclidean

    Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga

m = nq + r         (1)

    dengan 0 £
r < n.

Contoh 2.

(i) 1987/97 = 20, sisa 47:

        1987 = 97 × 20 + 47

(ii) –22/3 = –8, sisa 2:

     –22 = 3(–8) + 2

    tetapi –22 = 3(–7) – 1 salah

    karena r = –1 (syarat 0 £
r < n)

Pembagi Bersama Terbesar (PBB)

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.

Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b.

Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.

Contoh 3.

     Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;

Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;

     Faktor pembagi bersama 45 dan 36: 1, 3, 9


à PBB(45, 36) = 9.

Teorema 2. Misalkan m dan n bilangan bulat, dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga

m = nq + r    , 0 £
r < n

maka PBB(m, n) = PBB(n, r)

  • Contoh 4: m = 60, n = 18,

            60 = 18 × 3 + 6

maka PBB(60, 18) = PBB(18, 6) = 6

Untuk lebih jelasnya silahkan download link berikut ini:


Terimakasih atas perhatiannya.

Untuk materi sebelumnya tentang Kombinatorial, silahkan Klik Disini.

Untuk materi selanjutnya tentang Algoritma Euclidean, silahkan Klik Disini.


Matematika Diskrit-Pertemuan 3- Relasi

Posted on Updated on

Pada pertemuan ini akan dibahas mengenai Relasi.

  • Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
  • Notasi: R C (AxB).
  • a R b adalah notasi untuk (a, b) C R, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R
  • a R b adalah notasi untuk (a, b) C R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
  • Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 1:

A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {TI1LOG, TI4STAT, TI2WEB1, TI3WEB2}

A x B = {(Amir, TI1LOG), (Amir, TI4STAT), (Amir, TI2WEB1), (Amir, TI3WEB2), (Budi, TI1LOG), (Budi, TI4STAT), (Budi, TI2WEB1), (Budi, TI3WEB2), (Cecep, TI1LOG),(Cecep, TI4STAT), (Cecep, TI2WEB1), (Cecep, TI3WEB2) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, TI1LOG), (Amir, TI3WEB2), (Budi, TI1LOG), (Budi, TI3WEB2), (Cecep, TI1LOG), (Cecep, TI3WEB2) }

Untuk penjelasan lebih lanjut silahkan klik slide berikut ini:

Terimakasih atas perhatiannya.

Matematika Diskrit-Pertemuan 1- Himpunan, silahkan Klik Disini

Matematika Diskrit-Pertemuan 2- Himpunan Lanjutan, silahkan Klik Disini